Class 12th UP board 10th highlights question

UP बोर्ड — कक्षा 12 गणित: 10 प्रश्न और उनके हल (हिन्दी)

नीचे प्रत्येक प्रश्न के साथ संक्षिप्त तथा स्पष्ट हिन्दी में हल दिया गया है।

प्रश्न 1

यदि y=\sin^{-1}\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right) हो, तो \dfrac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए।

हल (संक्षेप में):
u=2x/(1+x^2),
dy/du=1/\sqrt{1-u^2},
du/dx=2(1-x^2)/(1+x^2)^2,
1-u^2=((1-x^2)^2)/(1+x^2)^2)
अतः
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{1+x^2}\cdot\frac{1-x^2}{|1-x^2|}=\begin{cases}\dfrac{2}{1+x^2},&|x|<1,\\ -\dfrac{2}{1+x^2},&|x|>1.\end{cases}
(x=\pm1 पर आर्कसाइन का अवकलन परिभाषित नहीं।)

प्रश्न 2

समाकलन: \displaystyle \int \dfrac{x^2}{x^3+1}\,dx

हल:
Let u=x^3+1 → du=3x^2dx.
तो
\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+1}\,dx=\frac{1}{3}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{3}\ln|x^3+1|+C.

प्रश्न 3

दिए हैं A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix} तथा B=\begin{bmatrix}2&0\\1&2\end{bmatrix}। AB-BA ज्ञात कीजिए।

हल:
AB=\begin{bmatrix}4&4\\10&8\end{bmatrix},\quad BA=\begin{bmatrix}2&4\\7&10\end{bmatrix}
अतः
AB-BA=\begin{bmatrix}2&0\\3&-2\end{bmatrix}.

प्रश्न 4

निम्न निर्णायक समता (determinant) शून्य है: \begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0. x खोजिए।

हल:
निर्णायक को फैक्टर करने पर
(x-1)^2(x+2)=0.
अतः x=1 (दोहरे मूल के साथ) या x=-2.
(यानी x=1 या x=-2).

प्रश्न 5

अवकल समीकरण हल कीजिए: \displaystyle \frac{dy}{dx}+y\tan x=\sin x.

हल (रेखा-आधारित विधि):
इंटीग्रेटिंग फैक्टर \mu=\exp(\int\tan x\,dx)=\exp(-\ln|\cos x|)=1/\cos x.
तो
(y/\cos x)'=\tan x.
इंटीग्रेट करके:
y/\cos x=\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C.
अतः
\boxed{\;y=\cos x\left(-\ln|\cos x|+C\right)\; }.

प्रश्न 6

यदि \vec a=2\hat i+3\hat j-\hat k तथा \vec b=-\hat i+\hat j+4\hat k हों, तो (क) \vec a\cdot\vec b और (ख) दोनों के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
(क) \vec a\cdot\vec b=2(-1)+3(1)+(-1)(4)=-2+3-4=-3.
(ख) |\vec a|=\sqrt{14},\;|\vec b|=\sqrt{18}=3\sqrt2.
\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\dfrac{-3}{\sqrt{14}\sqrt{18}}=\dfrac{-1}{2\sqrt7}.
अतः \theta=\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2\sqrt7}\right).

प्रश्न 7

वह तल (plane) ज्ञात कीजिए जो बिंदु (1,2,3) से गुज़रता है और रेखा \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{3} के लंबवत् है।

हल:
रेखा की दिशा सदिश \vec d=\langle2,-1,3\rangle है, जो ही तल का सामान्य (normal) होगा।
तदनुसार तल का समीकरण:
2(x-1)-1(y-2)+3(z-3)=0
सरल करके:
\boxed{\;2x-y+3z-9=0\; }.

प्रश्न 8

थैली में 5 लाल और 4 काले गेंदें। बिना प्रत्यावर्तन के दो गेंद निकाली जाती हैं। (i) दोनों लाल होने की प्रायिकता। (ii) एक लाल और एक काली होने की प्रायिकता।

हल:
कुल तरीकों की संख्या = C(9,2)=36.
(i) दोनों लाल = C(5,2)=10 → प्रायिकता = 10/36 = 5/18.
(ii) एक लाल और एक काला = 5*4 =20 (unordered के लिए भी 20) → 20/36 = 5/9.
(अत: (i)=5/18, (ii)=5/9.)

प्रश्न 9

रैखिक प्रोग्रामिंग: Z=5x+3y अधिकतम कीजिए शर्तों पर: x+2y\le10,\;3x+y\le15,\;x,y\ge0.

हल (कोर्नर-पॉइंट विधि):
शिलाओं (vertices) के संभावित बिंदु: (0,0),(0,5),(5,0) और दोनों रेखाओं का अन्तर्संबंध (intersection) → (4,3).
Z पर मान:
(0,0)→0,
(0,5)→15,
(5,0)→25,
(4,3)→29.
अतः अधिकतम मान Z_{max}=29 पर होता है जब (x,y)=(4,3).
(उत्तर: अधिकतम 29, तब x=4, y=3.)

प्रश्न 10

हल कीजिए: \sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}

हल:
यह त्रिकोणमिति-पहचान वास्तविक परिभाषा के अनुसार सभी x के लिये सत्य है जहाँ दोनों आर्ड-फंक्शन परिभाषित हैं, अर्थात् -1\le x\le1.
अतः उत्तर: \boxed{x\in[-1,1]}.

यदि आप चाहें तो मैं इस HTML फाइल को डाउनलोड करने के लिए एक फाइल भी बना कर दे दूँ या किसी विशिष्ट प्रश्न का विस्तार से कदम-दर-कदम हल (और चित्र) भेज दूँ।